住民税は、毎年1月1日現在で住所のある方に対して、
その住所地の市区町村が課税することになっています。
したがって前年中に亡くなった場合は、翌年の1月1日現在で住所のある方に該当しませんので亡くなった翌年の住民税については納税義務が発生しません。
また、1月1日に亡くなった方についても1月1日現在住所がない方に該当します。
しかし、1月2日以降に亡くなった方の住民税(亡くなる前の年の所得に対する税金)は相続人がお支払いいただくこととなります。相続にともない届出が必要となりますので、詳しくは収納課納税管理係にお問い合わせください。